Kanca
İleri kinematik sana konumu veriyor: "eklemler şu açılardayken uç nokta burada." Ama bir robotu gerçek zamanlı sürerken asıl soru genelde şu: "eklemler şu anda şu hızda dönüyorsa, uç nokta hangi yönde ve ne hızda hareket ediyor?" Bu sorunun cevabı Jacobian matrisi.
Nasıl hesaplandı?Çizgiler ve elips, eklem hızlarından uç hıza nasıl gidildiğini gösteriyor.
Renkli çizgiler: her eklemin birim hızının uç noktada ürettiği hız yönü (Jacobian sütunları). Gri elips: tüm birim eklem hızı kombinasyonlarının süpürdüğü uç hız alanı (manipülabilite elipsi) — elips daralıp çizgiye dönüştüğünde tekillik yaklaşıyor demektir.
manipülabilite = √det(J·Jᵀ) — computeJacobian içindeki manipulabilityOf fonksiyonunun ürettiği sayı, yukarıdaki “Manipülabilite” satırında gösterilen değerin ta kendisi.
Bağlantı yalnız bu sahnenin durumunu taşır; hesap veya ad içermez.
Önce dene
Dene
Bir "kır" deneyi yap. Eklem 2'yi 0°'ye getir ve kolu tam aç. Turuncu çizginin uzunluğu değişmez; z ekseniyle çapraz çarpım onu 90° döndürür, uzunluğunu değiştirmez. Fakat turkuaz ve turuncu çizgiler artık aynı doğrultudadır. Gri elips çöker. Kolu tam katlayınca da doğrultular ters paralel olur ve aynı kayıp ortaya çıkar. İki farklı duruş, aynı uyarı: Jacobian bazı yönlerde hız üretemez hâle geliyor.
Kaynak kodu: computeJacobian
Ne oldu
Jacobian, eklem hızlarını uç nokta hızına eşleyen doğrusal dönüşümdür:
v = J(θ) · θ̇
Burada v uç noktanın doğrusal hızı, θ̇ eklem açısal hızları vektörü.
J'nin i'inci sütunu, sadece i'inci eklemin birim hızla döndüğü (diğerleri
sabit) durumda uç noktanın hangi yönde hareket edeceğini gösterir:
J_i = z_(i-1) × (p_uç − p_(i-1))
z_(i-1), eklem i'nin döndüğü eksen (bir önceki çerçevenin Z ekseni);
p_(i-1), o eklemin konumu; p_uç, uç noktanın konumu. Bu, dönme
hareketinin temel tanımından gelir: bir eksen etrafında dönen bir noktanın
hızı, açısal hız ile o noktanın eksene olan konum vektörünün çapraz
çarpımıdır.
Yukarıdaki sahnede renkli çizgiler tam olarak bu sütunları gösteriyor: her renk bir eklemin birim hızının uç noktada ürettiği hız yönü. Gri elips ise ikisinin tüm kombinasyonlarının süpürdüğü alan — manipülabilite elipsi.
Gerçek dünyada
İşbirlikçi bir kolu ucundan tutup istediğin yöne yönlendirdiğinde — kobotlarda yaygın olan elle öğretme yönteminde — kontrolörün çözdüğü problem tam olarak budur: uçta istenen hareket yönü, hangi eklem hızlarına karşılık geliyor? Jacobian bu eşlemenin merkezindedir. Sahnede yalnızca iki eklem görüyorsun; eklem sayısı arttığında matris büyür, soru aynı kalır: istenen uç hızı için eklemler hangi hızlarda dönmeli?
Sonraki
Elipsin bir çizgiye daralması ne anlama geliyor? Sıradaki ders ele alıyor.